MATHÉMATIQUES

1 MATH MATIQUESP roportionnalit Informer et accompagner les professionnels de l - Minist re de l ducation nationale, de l Enseignement sup rieur et de la Recherche - Mars 20161 Retrouvez duscol surR soudre des probl mes de proportionnalit au cycle 3 ObjectifsLa proportionnalit est une notion autour de laquelle peuvent tre pens s et organis s de nombreux apprentissages math matiques. Sa ma trise est essentielle tant pour un usage dans la vie courante que dans un cadre professionnel. Son apprentissage s inscrit dans la dur s le cycle 2, l l ve a rencontr des situations de proportionnalit dans le cadre de la r solution de probl mes multiplicatifs. Ce travail se poursuit au cycle 3 dans chacun des trois th mes Nombres et calculs , Grandeurs et mesures et Espace et g om trie . L l ve enrichit le champ des probl mes multiplicatifs en croisant diverses situations relevant de la proportionnalit auxquelles il peut donner du sens. Il apprend rep rer des situations relevant ou non de la proportionnalit.

2 Il r sout des probl mes de prix, de consommation, de recettes, etc. en utilisant diff rentes proc dures (proc dure utilisant la propri t de lin arit pour l addition, proc dure utilisant la propri t de lin arit pour la multiplication par un nombre, proc dure mixte utilisant les propri t s de lin arit pour l addition et pour la multiplication par un nombre, passage par l unit , proc dure utilisant le coefficient de proportionnalit ). L objectif n est pas, ce stade, de mettre en avant telle ou telle proc dure particuli re, mais de permettre l l ve de disposer d un r pertoire de proc dures, s appuyant toujours sur le sens, parmi lesquelles il pourra choisir en fonction des nombres en jeu dans le probl me r situations de proportionnalit mettant en jeu des nombres simples, avec des rapports entre les nombres permettant des calculs ais s, donnent l occasion de travailler le calcul avec les domaines du socleLa r solution de probl mes de proportionnalit permet d acqu rir des connaissances et de d velopper des comp tences en lien avec chacun des domaines du mani re g n rale, les math matiques participent la maitrise de la langue fran aise.

3 Elles offrent de nombreuses occasions pour le d veloppement de comp tences langagi res en largissant le r pertoire lexical des l ves, en favorisant les situations de communication (sous-domaine ). La r solution de probl mes de proportionnalit est un terrain particuli rement f cond pour les interactions entre la langue fran aise et le langage math matique puisque la verbalisation en langage naturel des proc dures utilis es (prendre le double, le triple, le tiers, le quadruple, d une grandeur) contribue la fois l largissement du r pertoire lexical et et la compr hension d une notion math matique. tudier des relations entre deux grandeurs permet d effectuer de mani re efficace des calculs en utilisant un langage math matique adapt , par exemple celui des nombres d cimaux ou des fractions (sous-domaine ). - Minist re de l ducation nationale, de l Enseignement sup rieur et de la Recherche - Mars 20162 CYCLE I MATH MATIQUES I proportionnalit 3 Retrouvez duscol surLa formation de la personne et du citoyen, plus particuli rement dans son registre r flexion et discernement (domaine ) est largement convoqu e travers par exemple des probl mes de co ts ou de remises relevant ou non de la proportionnalit : apprendre justifier ses choix et confronter ses propres jugements avec ceux des autres, remettre en cause ses jugements initiaux apr s un d bat argument.

4 La proportionnalit intervient pour r soudre des probl mes relevant de syst mes naturels et techniques (domaine 4) et l utilisation des chelles permet de contribuer se rep rer dans l espace (domaine 5).Progressivit des apprentissagesLa notion de proportionnalit est introduite en premi re ann e du cycle 3. Le travail men s appuie tout particuli rement sur les probl mes multiplicatifs trait s au cycle 2. Les proc dures rencontr es au cycle 3 pour r soudre des probl mes de proportionnalit continueront d tre utilis es au cycle 4 o seront introduites, en fin de cycle, les fonctions lin aires. C est donc tout au long des trois cycles de la scolarit obligatoire que se construisent progressivement les connaissances relatives la notion de proportionnalit : Au cycle 2, les l ves rencontrent des situations de proportionnalit dans des probl mes multiplicatifs. Exemple : Un manuel de math matiques p se 340 g. Combien p sent 5 manuels identiques ? Ces probl mes pr parent les l ves la reconnaissance de situation de proportionnalit et leur r solution par une proc dure utilisant la propri t de lin arit pour la multiplication par un nombre.

5 Au cycle 3, les premiers travaux sur la proportionnalit sont propos s d s la premi re ann e du cycle ; les l ves ont recours des proc dures utilisant les propri t s de la lin arit (pro-c dure utilisant la propri t de lin arit pour l addition, proc dure utilisant la propri t de lin arit pour la multiplication par un nombre). Ensuite, les l ves rencontrent progressive-ment des situations qui n cessitent de combiner des proc dures utilisant les propri t s de la lin arit (proc dure mixte utilisant les propri t s de lin arit pour l addition et pour la multi-plication par un nombre, passage par l unit ). Pendant la seconde moiti du cycle, s ajoutent des probl mes impliquant des chelles ou des vitesses constantes. Si le coefficient de pro-portionnalit est rencontr au cours moyen, notamment lors de travaux sur les chelles, son institutionnalisation dans un cadre g n ral peut tre report e en toute fin de cycle 3. Au cycle 4, toutes les proc dures introduites au cycle 3 pour r soudre des probl mes de proportionnalit continuent tre utilis es en fonction des nombres en jeu dans les pro-bl mes propos s et des connaissances de faits num riques des l ves.

6 Des tableaux de proportionnalit sont r guli rement utilis s pour r soudre des probl mes ; ils facilitent l utilisation du coefficient de proportionnalit , particuli rement efficace quand un nombre important de donn es doivent tre calcul es. Le produit en croix est introduit apr s l tude de l galit des fractions ; il permet de calculer rapidement une quatri me proportionnelle, quand les nombres en jeu ne permettent pas d utiliser facilement des proc dures bas es sur les propri t s de lin arit . En fin de cycle, les l ves font le lien entre les fonctions lin aires et la proportionnalit .Strat gies d enseignementLa proportionnalit est appr hend e dans de nombreuses autres disciplines (g ographie, EPS, sciences et technologie, etc.) ou dans des situations de la vie courante, ce qui permet de renforcer le travail men en math matiques. L enseignant propose aux l ves des situations vari es relevant de la proportionnalit et leur apprend mobiliser diff rentes proc dures pour r soudre des probl mes dans des contextes vari s.

7 L enseignant invite les l ves comparer ces proc dures afin de constater que certaines sont plus efficaces que d autres selon les nombres en jeu. Pour que la proportionnalit prenne tout son sens, l l ve doit aussi tre confront des - Minist re de l ducation nationale, de l Enseignement sup rieur et de la Recherche - Mars 20163 CYCLE I MATH MATIQUES I proportionnalit 3 Retrouvez duscol sursituations ne relevant pas de la proportionnalit ( Si je mesure 1 m tre 10 ans, je peux mesurer 2 m tres 20 ans mais s rement pas 4 m tres 40 ans et je sais aussi que je ne mesurais pas 10 centim tres 1 an. )Les propri t s de lin arit 1 pour l addition et pour la multiplication par un nombre doivent tre le plus souvent possible explicit es et sont une opportunit pour travailler l expression orale. Les proc dures relatives la lin arit sont les premi res rencontr es. Les relations entre les nombres mis en jeu constituent une variable didactique avec laquelle l enseignant peut jouer.

8 En effet, les rapports entre les nombres en jeu et la connaissance des tables de multiplication dans les deux sens (composition-d composition) par les l ves vont influer sur le choix de la proc dure privil gier. L enseignant propose dans un premier temps des situations mettant en jeu des nombres entiers entretenant entre eux des rapports simples (double, triple, quintuple, etc.) pour aller progressivement vers des situations plus compliqu es (nombres d cimaux, fractions, rapports plus complexes). Les tableaux de proportionnalit ne doivent pas tre con us comme des objets d enseignement ; s ils peuvent permettre de r sumer clairement une situation propos e dans un probl me, les op rations r aliser pour r soudre un probl me de proportionnalit au cycle 3 ne doivent pas se faire par un raisonnement sur des lignes ou des colonnes d un tableau mais uniquement sur des cardinaux ou des grandeurs, en explicitant ce qui est fait, tant l oral qu l crit. L enseignant permet aux l ves de d gager les avantages et inconv nients de diff rentes proc dures possibles mais ne les pr sente pas comme les seules proc dures attendues lors de la r solution d un probl me relevant de la proportionnalit.

9 En variant les nombres et les relations num riques, l enseignant habitue l l ve changer de proc dure pour choisir de mani re pertinente la plus efficace pour travail sur la proportionnalit est particuli rement propice au d veloppement des six comp tences travaill es en math matiques : chercher, mod liser, repr senter, calculer, raisonner et communiquer. Chercher : tester, essayer plusieurs pistes de r solution dans la r solution de probl mes relevant des structures multiplicatives. Mod liser : apprendre mod liser des situations concr tes et reconna tre si elles rel vent de la proportionnalit ou non. Repr senter : se questionner sur le caract re proportionnel d une situation repr sent e graphiquement en g ographie, en sciences et technologie par exemple (une situation de pro-portionnalit entre deux grandeurs a pour repr sentation graphique un ensemble de points align s avec l origine). Raisonner : chacune des tapes de r solution d un probl me relevant de la proportionnalit (compr hension de l nonc , identification d une situation de proportionnalit , recherche, production et r daction d une solution) fait appel au raisonnement.

10 Calculer : les nombres en jeu et l tat des connaissances des l ves vont permettre de varier les modalit s de calcul mises en uvre (calcul mental, en ligne, pos , instrument ). Communiquer : l explicitation de ce qui est fait n cessite un r el travail de communication tant l oral qu l crit. Diff rencier le vocabulaire des structures additives de plus et de moins et celui des structures multiplicatives fois plus et fois moins .Dans la r solution de probl mes relevant de la proportionnalit , diff rentes proc dures sont faire travailler par les l ves. Dans chacun des trois th mes du programme, l enseignant veille oraliser les proc dures possibles en termes similaires, ce qui permet aux l ves de les r investir dans diff rents registres num rique grandeurs g om trique, tout en comprenant qu elles rel vent de la m me analyse d taill e des proc dures relevant de la proportionnalit est pr sent e en annexe au travers d une collection d exercices dont le th me est Mousse au chocolat.