Mesures et incertitudes - Education

1 Physique-chimie Nombres, Mesures et incertitudes Mai 2010 MEN/DGESCO des mati res. 2 Mesures et incertitudes en sciences physiques et 3 1 .. 3 La mesure : vocabulaire et .. 3 D .. 3 Notion d erreur al .. 4 La notion d erreur syst .. 4 Fid lit et .. 4 Grandeur d .. 4 Sch ma r .. 5 Notion d incertitude de mesure2 .. 5 Estimation des incertitudes exp rimentales et pr sentation du r .. 5 valuation de type A de l .. 6 valuation de type B de l .. 7 Incertitude-type compos .. 7 Incertitude-type largie et intervalle de .. 8 criture des r sultats de mesurePr sentation des r sultats num 9 1 .. 9 Notations scientifique et ing .. 9 Chiffres .. 9 D termination du nombre de chiffres .. 9 Chiffres significatifs et pr .. 10 Pr sentation du r sultat d un .. 10 .. 10 Arrondi au plus proche ou arrondi arithm .. 11 M thode d'arrondissage au pair le plus .. 11 Arrondi .. 11 Autres m .. 11 Arrondi en pr sence d un logarithme Direction g n rale de l'enseignement scolaire (DGESCO IGEN) mai 2010 Minist re de l' ducation nationale page 1 sur 12 Direction g n rale de l'enseignement scolaire (DGESCO IGEN) mai 2010 Minist re de l' ducation nationale page 2 sur 12 Introduction.

2 Lord Kelvin crivait il n y a de science que du . Mesurer des grandeurs identifi es est une activit fondamentale dans les laboratoires de recherche scientifique et dans l'industrie. Toute validation th orique d un ph nom ne (physique, biologique, chimique, etc.) passe par la mesure fiable de ses effets. C est aussi fondamental dans de nombreuses activit s quotidiennes comme le pesage dans les commerces, les analyses biologiques, la mesure de vitesse avec un radar, .. Il est n cessaire d tablir la confiance dans les r sultats fournis lors de ces op rations. Mesurer une grandeur (intensit d un courant, tension, longueur,..), n est donc pas simplement rechercher la valeur de cette grandeur mais aussi lui associer une incertitude afin de pouvoir qualifier la qualit de la mesure. Dans l enseignement des sciences physiques et chimiques, les activit s exp rimentales et donc, les Mesures , occupent une place importante.

3 Ce document, labor par le GRIESP, a pour objectif de pr senter dans une premi re partie le vocabulaire et les notions de base dans le domaine de la m trologie. Il constitue le socle minimum que les enseignants doivent conna tre et utiliser. Ce document s appuie sur le Vocabulaire international de m trologie 2008 (VIM) labor par le BIPM1 et le Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM). Dans une deuxi me partie, est pr cis e la mani re de pr senter les r sultats num riques avec les diff rentes notations utilis es et les r gles concernant les arrondis. 1 Mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. 1 La mesure : vocabulaire et notations. D finitions. o La grandeur que l on veut mesurer est appel e le mesurande. o On appelle mesurage (mesure) l ensemble des op rations permettant de d terminer exp rimentalement une ou plusieurs valeurs que l on peut raisonnablement attribuer une grandeur.

4 Quand on mesure la valeur de la r sistance R d un dip le passif lin aire, le mesurande est la r sistance R de ce dip le et le mesurage est effectu , par exemple, avec un ohmm tre. o La valeur vraie (Mvrai) du mesurande est la valeur que l on obtiendrait si le mesurage tait parfait. Un mesurage n tant jamais parfait, cette valeur est toujours inconnue. o Le r sultat du mesurage (r sultat de mesure) est un ensemble de valeurs attribu es un mesurande compl t par toute information pertinente disponible. Une expression compl te du r sultat du mesurage comprend des informations sur l incertitude de mesure qui permet d indiquer quel est l intervalle des valeurs probables du mesurande. En m trologie, on appelle souvent m la mesure de la valeur de la grandeur (un nombre), et M le r sultat de la mesure, c est dire l expression compl te du r sultat (un intervalle de valeurs). o Un mesurage n tant jamais parfait, il y a toujours une erreur de mesure ER = (m - Mvrai).

5 L erreur de mesure est la diff rence entre la valeur mesur e d'une grandeur et une valeur de r f rence. Si la valeur de r f rence est la valeur vraie du mesurande, l erreur est inconnue. Remarque : Le mot mesure a, dans la langue fran aise courante, plusieurs significations. C'est la raison pour laquelle le mot mesurage a t introduit pour qualifier l'action de mesurer. Le mot mesure intervient cependant de nombreuses reprises pour former des termes, suivant en cela l'usage courant et sans ambigu t . On peut citer, par exemple : instrument de mesure, appareil de mesure, unit de mesure, m thode de mesure. Notion d erreur al atoire. Les conditions de r p tabilit sont remplies lorsque le m me op rateur ou le m me programme effectue N Mesures exactement dans les m mes conditions. Si on effectue N Mesures dans des conditions de r p tabilit , le meilleur estimateur de la valeur du mesurande est la valeur moyenne des N Mesures .

6 Mais une mesure mi parmi les N est en g n ral diff rente de . La diff rence ERa = mi - est appel e erreur al atoire. Lors de chaque mesure, l erreur al atoire peut prendre n importe quelle valeur entre (mmax - ) et (mmin - ). En toute rigueur, l erreur al atoire est le r sultat d un mesurage moins la moyenne d un nombre infini de mesurages du m me mesurande, effectu s dans les conditions de r p tabilit . Comme l on ne peut faire qu un nombre fini de Mesures , il est seulement possible de d terminer une estimation de l erreur al atoire. Direction g n rale de l'enseignement scolaire (DGESCO IGEN) mai 2010 Minist re de l' ducation nationale page 3 sur 12 La notion d erreur syst matique. Par d finition, l erreur syst matique est ERS = ( - Mvrai). En toute rigueur, est la moyenne qui r sulterait d un nombre infini de mesurages du m me mesurande, effectu s dans les conditions de r p tabilit . La valeur vraie (Mvrai) du mesurande est toujours inconnue et il est impossible de r aliser une infinit de Mesures : l erreur syst matique ERS ne peut pas tre connue compl tement.

7 Il est seulement possible de d terminer une estimation de l erreur syst matique. Lors d une mesure, l erreur al atoire peut prendre, au hasard, n importe quelle valeur sur un certain intervalle. Par contre, l erreur syst matique prend la m me valeur (inconnue) lors de chaque mesure. Fid lit et justesse Si l on reprend les d finitions et les notations pr c dentes, on obtient : ER = m Mvrai = (m - ) + ( - Mvrai) = ERa + ERS. Une erreur de mesure ER a donc, en g n ral, deux composantes : une erreur al atoire ERa et une erreur syst matique ERS. L estimation de l erreur syst matique est appel e biais de mesure ou erreur de justesse. La fid lit d un instrument de mesure est son aptitude donner des indications tr s voisines lors de l application r p t e du m me mesurande dans les m mes conditions. La justesse d un instrument de mesure est son aptitude donner des indications exemptes d erreur syst matique. Grandeur d influence.

8 C est une grandeur qui n est pas le mesurande mais qui a un effet sur le r sultat du mesurage. Sch ma r capitulatif mi mesure de la valeur du mesurande ER = (mi - Mvrai) pour ce r sultat une mesure mi Processus de mesure Mvrai ERS =( - Mvrai ) Pourtouslesr sultatsmiERa = ( mi - ) pourcer sultatMesurande M Mvrai, valeur vraie du mesurande Si l on crit que Mvrai = mi - ER, on tente d obtenir la valeur de la grandeur d entr e partir de la valeur m obtenue la sortie. La valeur de l erreur ER tant toujours inconnue, il est Direction g n rale de l'enseignement scolaire (DGESCO IGEN) mai 2010 Minist re de l' ducation nationale page 4 sur 12 impossible d obtenir la valeur Mvrai recherch e. Le concept d incertitude de mesure permet d apporter une r ponse la question Quelle est la valeur de Mvrai ? . Notion d incertitude de mesure o L incertitude de mesure M est un param tre, associ au r sultat du mesurage, qui caract rise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement tre attribu es au mesurande.

9 O Ce param tre peut tre, par exemple, la demi-largeur d un intervalle de niveau de confiance d termin . o Le r sultat d une mesure n est jamais une valeur : il est toujours donn sous la forme d un intervalle des valeurs probables du mesurande M = m M associ un niveau de confiance. o L valuation des incertitudes par des m thodes statistiques est dite de type A. Quand la d termination statistique n est pas possible, on dit que l valuation est de type B. C est le cas d une mesure unique m r alis e avec un appareil de classe connue. o On appelle incertitude-type une incertitude de mesure exprim e sous la forme d'un cart-type o Lorsque les sources de variabilit de la mesure sont multiples, on estime l incertitude-type pour chacune d entre elles et l on fait un bilan global pour construire une incertitude-type compos e, qui peut m langer des valuations de type A et de type B. 2 Estimation des incertitudes exp rimentales et pr sentation du r sultat Le r sultat d une mesure n est jamais une valeur : il sera donn sous la forme d un intervalle des valeurs probables du mesurande M = m M associ un niveau de confiance.

10 Une part importante du travail exp rimental r side donc dans l estimation de M dit intervalle de confiance associ un niveau de confiance donn . Lorsque les incertitudes sont valu es par des m thodes statistiques, l valuation est dite de type A. Quand la d termination statistique n est pas possible, on dit que l valuation est de type B. Lorsque les sources de variabilit de la mesure sont multiples, on estime l incertitude-type pour chacune d entre elles et l on fait un bilan global pour construire une incertitude-type compos e, qui peut m langer des valuations de type A et de type B. valuation de type A de l incertitude-type. L valuation de type A de l incertitude-type est r alis e par l analyse statistique de s ries d observations (GUM). Si on suppose les n observations mk ind pendantes : La meilleure estimation du r sultat de la mesure est donn e par la moyenne arithm tique : m = n1kkmn1m.