Límite de una función - Matematicas Online

1 1 L mite de una funci n Idea intuitiva de l mite El l mite de la funci n f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las im genes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las im genes cuando los originales tienden a x0. Vamos a estudiar el l mite de la funci n f(x) = x2 en el punto x0 = 2. x f(x) 1,9 3,61 1,99 3,9601 1,999 3,996001 .. 2 4 x f(x) 2,1 2,01 4,0401 2,001 4,004001 .. 2 4 Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha (valores mayores que 2) las im genes se acercan a 4. Se dice que el l mite cuando x tiende a 2 de la funci n f(x) = x2 es 4 = 2 Def.

2 De l mite de una funci n en un punto Se dice que la funci n f(x) tiene como l mite el n mero L, cuando x tiende a x0, si fijado un n mero real positivo , mayor que cero, existe un numero positivo dependiente de , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condici n |x - x0| < , se cumple que |f(x) - L| < . Tambi n podemos definir el concepto de l mite a trav s de entornos: si y s lo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por peque o que sea su radio, existe un entorno de x0 , E (x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus im genes dentro del entorno de L , E (L). L mites laterales Diremos que el l mite de una funci n f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y s lo si para todo > 0 existe > 0 tal que si x (a+ , a ) , entonces |f (x) - L| <.

3 Diremos que el l mite de una funci n f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y s lo si para todo > 0 existe > 0 tal que si x (a, a + ), , entonces |f (x) - L| < . 3 El l mite de una funci n en un punto si existe, es nico. Para que exista el l mite de una funci n en un punto, tienen que existir los l mites laterales en ese punto y coincidir. Ejemplo: En este caso vemos que el l mite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4. El l mite de la funci n es 4 aunque la funci n no tenga imagen en x = 2. Para calcular el l mite de una funci n en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

4 4 Ejemplo Dada la funci n: Hallar . Como no coinciden los l mites laterales, la funci n no tiene l mite en x = 0. Limites infinitos L mite m s infinito Una funci n f(x) tiene por l mite + cuando x a, si para todo n mero real positivo (K>0 )se verifica que f(x)>k para todos los valores pr ximos a a. = + = > / < < > Ejemplo: 5 L mite menos infinito Una funci n f(x) tiene por l mite - cuando x a, si fijado un n mero real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores pr ximos a a. = = > / < < < Ejemplo: L mites en el infinito L mite cuando x tiende a infinito L mite cuando x tiende a menos infinito 6 Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: 7 As ntotas As ntotas horizontales Si se cumple que Ejemplo Calcular las as ntotas horizontales de la funci n.

5 As ntotas verticales Es una as ntota horizontal 8 As ntotas verticales Si se cumple que Los valores de K hay que buscarlos entre los puntos que no pertenecen al dominio de la funci n Ejemplo Calcular las as ntotas horizontales y verticales de la funci n: Es una as ntota vertical 9 As ntotas oblicuas Tienen la forma S lo hallaremos las as ntotas oblicuas cuando no haya as ntotas horizontales. Ejemplo Calcular las as ntotas de la funci n: As ntotas horizontales No hay as ntotas horizontales As ntotas verticales As ntotas oblicuas 10 Ramas parab licas Las ramas parab licas se estudian s lo si: Rama parab lica en la direcci n del eje OY Se dice que f tiene una rama parab lica en la direcci n del eje OY cuando: Esto quiere decir que la gr fica se comporta como una par bola de eje vertical.

6 Ejemplo Estudiar las ramas parab licas de la funci n: Tiene una rama parab lica en la direcci n del eje OY. 11 Rama parab lica en la direcci n del eje OX Se dice que f tiene una rama parab lica en la direcci n del eje OX cuando: Esto quiere decir que la gr fica se comporta como una par bola de eje horizontal. Ejemplo Estudiar las ramas parab licas de la funci n: Tiene una rama parab lica en la direcci n del eje OX. 12 Propiedades de los l mites L mite de una constante L mite de una suma L mite de un producto L mite de un cociente L mite de una potencia L mite de un logaritmo Operaciones con infinito: Indeterminaciones Infinito m s un n mero Infinito m s infinito Infinito menos infinito 13 Infinito por un n mero Infinito por infinito Infinito por cero Cero partido por un n mero Un n mero partido por cero Un n mero partido por infinito Infinito partido por un n mero Cero partido por infinito Cero partido por cero Infinito partido por infinito Un n mero elevado a cero Cero elevado a cero 14 Infinito elevado a cero Cero elevado a un n mero Un n mero elevado a infinito Cero elevado a infinito Infinito elevado a infinito Uno elevado a infinito No distinguimos entre + y - para no alargar excesivamente la lista.

7 Nos basta con saber: La regla de los signos y que a-n = 1/a n 15 Las 7 Indeterminaciones 1. Infinito partido por infinito 2. Infinito menos infinito 3. Cero partido por cero 4. Cero por infinito 5. Cero elevado a cero 6. Infinito elevado a cero 7. Uno elevado a infinito C lculo de l mites C lculo del l mite en un punto Si f(x) es una funci n (polin micas, racionales, radicales, exponenciales, logar tmicas, etc.) y est definida en el punto a, entonces se suele cumplir que: Es decir: para calcular el l mite se sustituye en la funci n el valor al que tienden las x. 16 No podemos calcular porque el dominio de definici n est en el intervalo [0, ), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.]

8 Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan pr ximos a 3 como queramos. C lculo del l mite en una funci n definida a trozos En primer lugar tenemos que estudiar los l mites laterales en los puntos de uni n de los diferentes trozos. Si coinciden, este es el valor del l mite. Si no coinciden, el l mite no existe . En x = -1, los l mites laterales son: Por la izquierda: Por la derecha: Como en ambos casos coinciden, existe el l mite y vale 1. En x = 1, los l mites laterales son: Por la izquierda: 17 Por la derecha: Como no coinciden los l mites laterales no tiene l mite en x = 1.

9 C lculo de l mites cuando x Para calcular el l mite de una funci n cuando x se sustituyen las x por . L mite de funciones polin micas en el infinito El l mite cuando x de una funci n polin mica es + o - seg n que el t rmino de mayor grado sea positivo o negativo. L mite de la inversa de un polinomio en el infinito Si P(x) es un polinomio, entonces: . C lculo de l mites cuando 18 No existe el l mite, porque el radicando toma valores negativos. L mite de la funci n exponencial Si a > 0 Si 0 < a < 1 19 Ejemplo: L mite de la funci n logar tmica Si a > 0 20 Si 0 < a < 1 21 L mites de logaritmos Comparaci n de infinitos 1.

10 F(x) es un infinito de orden superior a g(x) si: 2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si: 2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si: 22 Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior. Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior. Cualquier funci n exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x. Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logar tmicas. Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden. Ejemplos: Hallar los l mites por comparaci n de infinitos: L mites del tipo El l mite puede ser + , - no tener l mite.